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質問をいただきましたので，さっそくお答えしましょう。例えば，3このように，解答の答えと自分で求めた答えのそれぞれに具体的な値をいくつか代入してみて，解答と同じ結果（ここでは，それでは，これからも『進研ゼミ高校講座』を活用して得点を伸ばしていきましょう！ わからないところをウヤムヤにせず、その場で徹底的につぶすことが苦手を作らないコツ。まずは、学年をお選びください。Copyright © Benesse Corporation.


1次不定方程式の整数解の見つけ方 （高校数学Ⅰ・A） - Duration: 12:00. 不定方程式の整数解を求めるときに「互いに素」を利用する理由について。高校生の苦手解決Q＆Aは、あなたの勉強に関する苦手・疑問・質問を、進研ゼミ高校講座のアドバイザー達がQ＆A形式で解決するサイトです。【ベネッセ進研ゼミ高校講座】

進研ゼミからの回答！
こんにちは。不定方程式の整数解を求めるときの「互いに素」の条件の使い方についてのご質問ですね。3と7が「互いに素」であるという条件があるから，整数解を求めることができます。 それでは，これからも『進研ゼミ高校講座』を活用して得点を伸ばしていきましょう！ わからないところをウヤムヤにせず、その場で徹底的につぶすことが苦手を作らないコツ。まずは、学年をお選びください。Copyright © Benesse Corporation. 超わかる!授業動画-数学・英語・化学 119,200 views 12:00 一次不等式は方程式の解き方を理解している方にとっては楽勝！ 気を付けておきたいポイントは1つだけです。 このように、負の数で掛けたり割ったりするときには不等号の向きが逆になります。

不定方程式とは，$3x+5y=2$ のように，方程式の数よりも未知変数の数が多いような方程式のことです。この記事では，$ax+by=c$ という不定方程式の整数解について，重要な定理の証明と，実際に不定方程式の一般解を求める方法を説明します。このように，$ax+by=c$ という不定方程式は，整数解を持たない場合と，無数の整数解を持つ場合があります。定理1：ただし，gcd$(a,b)$ は $a$ と $b$ の最大公約数を表します。例えば，$2x+4y=1$ という不定方程式については，$1$ はgcd$(2,4)=2$ の倍数ではないので，整数解を持たないことが分かります。また，$3x+5y=2$ という不定方程式については，$2$ はgcd$(3,5)=1$ の倍数なので，整数解を持つことが分かります。特に，定理1で $c=1$ とした，以下の定理2が重要です。定理2：まず「$ax+by=1$ が整数解を持つ $\iff$ $a$ と $b$ が互いに素」を証明します。方針：$\Rightarrow$ は対偶を取れば簡単です。$\Leftarrow$ の証明は $a$ と $b$ の公約数を $d\geq 2$ とおくと $ax+by$ は $d$ の倍数となり解を持たない。$a$ と $b$ が互いに素なとき $a,2a,3a,\cdots,(b-1)a$ を $b$ で割った余りは全て異なる（※）ので，余りが1となるようなものが存在する。※の証明(背理法) $ax+by=c$ が整数解を持つ $\iff$ $c$ はgcd$ (a,b)$ の倍数，を証明します。方針：$\Rightarrow$はさきほどと同様に簡単です。$\Leftarrow$ もさきほどの結果からすぐに分かります。 $a,b$ はgcd$ (a,b)$ の倍数なので整数解 $m,n$ に対して $am+bn$ もgcd$ (a,b)$ の倍数。つまり $c$ はgcd$ (a,b)$ の倍数。 $a=p\cdot $gcd$ (a,b)$, $b=q\cdot $gcd$ (a,b)$ とおける。（ただし $p,q$ は互いに素。）なお，ユークリッドの互除法を用いた構成的な証明方法もあります。不定方程式 $ax+by=1$ に解が存在する場合に，その一般解を求める問題が頻出です。具体例で説明します。$3x+5y=2$ の整数解を求めてみる。数字が非常に大きい問題は入試では出ないと思いますが，その場合は1つの解をユークリッドの互除法を用いて求めた方が早いです。どちらの方法も使えるようになっておきましょう。ちなみに，一次不定方程式 $ax+by=c$ には「ベズー等式(Bezout’s identity)」という立派な名前がついています。スポンサーリンクスポンサーリンク© 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved.

このページの機能を利用するには JavaScript に対応したブラウザが必要です。【整数の性質】不定方程式の整数解を求めるときに「互いに素」を利用する理由不定方程式の整数解を求めるときに「互いに素」を利用する理由3( 高校数学を中心に数検1級などの数学を解説。さらに大学受験突破の勉強テクニックなどを紹介フォローする 「非斉次一次不定方程式 Ax +By =C の一般解は、特殊解と斉次一次不定方程式 Ax +By =0の和で 表せる。すなわち (x, y)=(xh +xs , yh +ys )=(nB +xs,−nA +ys) である。」 この性質は非斉次一次方程式の著しい特徴です。この性質を使いこなして展開する自然科学の分野が 基本的な知識を組み合わせることでより発展的な問題が解けることを実感させる。 !

整数問題の基本・不定方程式を解くときの基本パターンを2つ紹介します。 パターン1：大小関係の設定 例題1：\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \)を満たす自然数a,b,cの組をすべて求めよ 普通に考えるとどこから考えていいかわからないような問題です。 上記の例で、もし連立方程式の解がオール0の（つまり自明解しか持たない）とき、列ベクトル達は1次独立となります。 2x+4y=1 という不定方程式を満たす整数 (x,y) は存在するでしょうか？(x,y) が整数のとき，2x+4y は偶数なので，2x+4y=1 になることはありません。よって，この不定方程式に整数解は存在しません。3x+5y=2 という不定方程式を満たす整数 (x,y) は存在するでしょうか？実は，m を整数として，(x,y)=(4+5m,−2−3m) とすると，(x,y) は解になります。このように，ax+by=c という不定方程式は，整数解を持たない場合と，無数の整数解を持つ場合があります。 不定方程式ax＋by＝c（c≠0）のすべての整数解の表し方について。高校生の苦手解決Q＆Aは、あなたの勉強に関する苦手・疑問・質問を、進研ゼミ高校講座のアドバイザー達がQ＆A形式で解決するサイトです。【ベネッセ進研ゼミ高校講座】 2 元 2 次不定方程式の自然数解を，因数分解を利用して求められるようになる。 !