高校数学を中心に数検1級などの数学を解説。さらに大学受験突破の勉強テクニックなどを紹介フォローする もちろんユークリッドの互除法を使わず、素因数分解で解く方法もあります。 〈素因数分解を利用した解き方〉 2数を素因数分解すると、それぞれ$2016=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$、$1572=2^2 \cdot 3 \cdot 131$となるから、最大公約数は$12$と求められる。 2 つの自然数 a, b (a ≧ b) について、a の b による剰余を r とすると、 a と b との最大公約数は b と r との最大公約数に等しいという性質が成り立つ。 ユークリッドの互除法では，以下の重要な性質を使って最大公約数の計算を行います。例えば，ユークリッドの互除法を使って 390 と 273 の最大公約数を計算してみましょう。まず，390 を 273 で割ると，商が 1 で余りが 117 です：390=273⋅1+117よって，重要な性質より「390 と 273 の最大公約数」＝「273 と 117 の最大公約数」次に，273 を 117 で割ります：273=117⋅2+39よって，重要な性質より「273 と 117 の最大公約数」＝「117 と 39 の最大公約数」次に，117 を 39 で割ります：117=39⋅3+0割り … 上野竜生です。○x＋△y=1を満たす整数x,yの組を1組見つけるのがユークリッドの互除法の大きなメリットです。その方法を解説します。なお，見つけた後の応用分野についてはxとyが互いに素（最大公約数が1）ならばax+by=1となる整数a,bが存在します。そしてユークリッドの互除法をうまく応用すればaとbが互いに素のときax+by=1となるx,yを計算することができます。ただし，少し複雑なのであてずっぽうで見つけるほうが楽なことが多いです。目次両辺に-1をかけるとよって 例題１と比較すると数字が違うだけですが，あてずっぽうでは結構見つけにくいです。こういうときはユークリッドの互除法を使ってみましょう。・・・と書かれてもわからないと思うので今回の例で計算してみます。しかしよって答えは 数学はもちろん他の科目も勉強できるシェアするフォローする 最大公約数を求める方法と聞かれてあなたは何と答えますか？割り算を逆に書いて、小さい数からどんどん割っていくというのが真っ先に思い浮かぶと思います。それでは、3355と2379の最大公約数を求めてみましょう。このように大きい数の最大公約数を求めるとき、2でも割れない、3でも、5でも…と繰り返していくのは非常に時間がかかってしまいます。そんな悩みを解決することができるのが「ユークリッドの互除法」という方法です。どんなに大きな数字になっても少ない手順で最大公約数を求めるこ … ユークリッドの互除法は整数問題を解くうえでの定番でセンター試験でも頻出ですよね。この記事ではユークリッドの互除法とはなにか、具体例とともにわかりやすく解説します。ユークリッドの互除法をマスターしましょう！
連除法（すだれ算、はしご算）とユークリッドの互除法を用いた最大公約数の求め方を、例題とともに確認します。連除法ではうまくいかないとき、公約数が思いつかないときは、ユークリッドの互除法を使えばラクラクです。 ユークリッドの互除法（ごじょほう）とは，大きな数字たちの最大公約数を素早く計算する方法です。この記事では，ユークリッドの互除法では，以下の例えば，ユークリッドの互除法を使って $390$ と $273$ の最大公約数を計算してみましょう。まず，$390$ を $273$ で割ると，商が $1$ で余りが $117$ です：よって，次に，$273$ を $117$ で割ります：よって，次に，$117$ を $39$ で割ります：割り切れました！ つまり「$117$ と $39$ の最大公約数」は $39$ です。以上により「$390$ と $273$ の最大公約数」が $39$ であることが分かりました。このように，以下では，$a$ と $b$ の最大公約数のことを $\mathrm{gcd}(a,b)$ と表します。「最大公約数」は画数が多くて書きたくないからです。難しい記号ではありません。ユークリッドの互除法で用いた，を証明します。$a$ を $b$ で割った商を $q$，余りを $r$ とおくと，・ $a,b$ がともに $m$ の倍数→ $r=a-bq$ も $m$ の倍数。・ $b,r$ がともに $m$ の倍数→ $a=bq+r$ も $m$ の倍数。以上2つの不等式より，$\mathrm{gcd}(a, b)=\mathrm{gcd}(b,r)$割り算を繰り返し行うと，余りの定義より $b > r$ なので数字はどんどん小さくなっていきます。そして，最後は必ず余りが $0$ になって停止します。そのときの割った数が，求めたい最大公約数になっています。素因数分解を利用して最大公約数を求めることもできますが，大きな数字の素因数分解よりも割り算の方が圧倒的に楽（計算量が少ない）なので応用現場ではユークリッドの互除法が用いられています。 $318691696$ と $4729749$ を素因数分解するのは相当な気合いが必要になるが割り算なら簡単にできそう。ただし，実際の入試問題でこんなに大きな整数はほとんど登場しないので，最大公約数を求めるだけだったら素因数分解を用いる方法で十分です。大学入試においては，ユークリッドの互除法は最大公約数を求める問題よりも，一次不定方程式 $ax+by=1$ に関する問題で活躍します。一次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解 $(x,y)$ を求める問題を考えます。$8x+11y=1$ を満たす整数 $(x,y)$ を求める。よって，ポイントは，ユークリッドの互除法の式を用いて，ユークリッドの互除法：スポンサーリンクスポンサーリンク© 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. ユークリッドの互除法（ユークリッドのごじょほう、英: Euclidean Algorithm ）は、2 つの自然数の最大公約数を求める手法の一つである。. 上野竜生です。 x＋ y=1を満たす整数x,yの組を1組見つけるのがユークリッドの互除法の大きなメリットです。その方法を解説します。なお，見つけた後の応用分野については別の記事で行います。ユークリッドの互除法とは本来はxとyの最大公約数を求 ユークリッドの互除法の効率について、「桁数の5倍以内の再帰回数で済む」という話があり、スタックオーバーフローを特に気にしなくていい根拠になっている。これはどう決まっているのか、そしてもっと減らすことはできないのか見ていく。 最悪ケース