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0000001739 00000 n このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、 A を f の変換行列または表現行列と呼ぶ。 例えば 2 × 2 行列 = は、単位正方形を (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d) を頂点とする平行四辺形に写すものと見做す … 0000013451 00000 n 0000013017 00000 n

ケイリー・ハミルトンの定理を使って、2乗で成分がすべてゼロになる行列を調べます。 ... 線型代数の問題です。2×2行列AでA 2 ≠0だがA 3 =0となるようなもの... - Yahoo!知恵袋 0000001502 00000 n

< 行列のn乗を求める問題は，単に行列の積を求める問題よりも格段に難しい．この小項目では，行列のn乗を求めるための一般的な方法を何も覚えずに2乗，3乗，4乗，...などからn乗を類推し，次にそれを数学的帰納法で証明するという2段階で解く方法を示す． アンケート投稿. 一般に行列の積は計算が煩雑であり、行列の累乗を求めるためには非常に労力がかかってしまう。しかし、行列が特定の形状をしている場合は比較的簡単に計算することができる。ここでは、２次正方行列についてn乗計算の４つのパターンを紹介する。\(A^2=kA\)の関係があるとき、\(A\)の\(n\)乗は次のように計算することができる。(証明)順番に次数を下げていくことで示される。\[(証明終) これは、ケーリー・ハミルトンの定理$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$$で\(ad-bc=0\)の場合に相当する。\(a+d=0\)のときは場合分け、\(a+d\not=0かつad-bc\not=0\)の場合は剰余の定理と組み合わせてn乗の計算が可能である。 \[A = \left(のように、\(A\)が対角行列のときは数学的帰納法により証明される。(証明)\(n=1\)は明らか。\(n=k\)のときに成立すると仮定する。\[\begin{align*}A^{k+1} = A^kA &= \left(よって\(n=k+1\)のときも成立するため、数学的帰納法によりすべての自然数\(n\)で成立する。(証明終) 対角行列の\(n\)乗については、\(n\)次対角行列であっても対角成分を\(n\)乗すればよい。 上三角行列、下三角行列の\(n\)乗は次のように与えられる。\[A = \left(のとき、\[A^n = \left(証明は数学的帰納法による。 特に、対角成分がすべて1であるとき\[A = \left(の\(n\)乗は次式で与えられる。 さらに、２次正方行列のジョルダン標準形\(J\)の\(n\)乗についても次のように与えられる。\[J = \left( やや複雑な形をしているが、様々に応用の効く公式である。 原点まわりの\(\theta\)回転を表す行列\[A=\left(の\(n\)乗は次式で与えられる。帰納的に証明することができるが、\(\theta\)回転をn回繰り返すとみれば合計の回転角は\(n\theta\)と考えればよい。 線形代数学 n7shiさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか？

662 33 0000016800 00000 n A^n = V %*% D^n %*% t(V) 0000004063 00000 n

0000019165 00000 n 行列のn乗は、行列Aが正方行列の場合のみ計算が可能です。 ... お客様の声. A の固有値分解 A = V %*% D %*% t(V) を用いて. 0000000016 00000 n 0000001308 00000 n よくある質問. 行列のn乗を計算するときの4つのパターンを紹介します。2次の正方行列について、ケーリー・ハミルトンの定理の特別な場合、対角行列、上三角・下三角行列、回転行列については容易にn乗の計算をするこ … ケイリー・ハミルトンの定理を使って、2乗で成分がすべてゼロになる行列を調べます。目次今回は次の式は変数 $x,y$ が $x',y'$ の値に依らずに $0$ になることを表します。この変換に対応する行列を零行列にどんな行列を掛けても零行列となります。零行列を $O$ と表記するのは、この性質が $0$ を掛けることに似ているためです。冪乗によって $0$ となる性質を行列では $0$ に相当するのは零行列 $O$ で、冪零となる行列をどのような行列が冪零行列になるかを調べます。ケイリー・ハミルトンの定理を使って、2乗で初めて $O$ となる条件を調べます。2乗する前から $O$ である零行列は除外します。右辺が $O$ になるには、$(i)$ 両係数が $0$ になるか、$(ii)$ 2項が相殺する必要があります。$(i)$ 両係数が $0$ になる場合、次の関係式が成り立ちます。$(1)$ より$(2)$ に $(3)$ を代入して$(3),(4)$ を満たす行列は、具体的には次の形となります。特に $a=0$ の場合が特徴的です。$(ii)$ 2項が相殺する場合、第1項の行列をこれを満たすのは $a=0$ の零行列だけですが、零行列を除外しているため該当する行列は存在しません。以上より、2乗で初めて $O$ となる冪零行列は $ad-bc=0$ かつ $a+d=0$ となります。$ad-bc=0$ より正則ではありません。具体例を示します。3乗以降で $O$ となる条件も $ad-bc=0$ かつ $a+d=0$ です。これは2乗で既に $O$ となる条件のため、3乗以降で初めて $O$ となる冪零行列は存在しません。なお、ここまでは行列のサイズを 2×2 に限定した話です。行列のサイズが n×n であれば、n乗までの初めて $O$ となる冪零行列が存在します。今回の範囲を超えるため、詳細は省略します。今までは成分に注目して積の性質を調べてきました。成分を見なくても、積の性質から分かることもあります。$X$ は $X ^ 2=O$ となる冪零行列とします。$X+I$ と $X-I$ は冪零行列ではありません。2乗を確認します。何乗しても一次の項と$X+I$ と $X-I$ の積は$X$ と $I$ の位置を入れ替えると、積はこれは $I+X$ と $I-X$ が互いに念のため成分で確認します。ケイリー・ハミルトンの定理に似た具体例を示します。今後は成分や具体例を省略することもありますが、必要に応じて確認してみると良いでしょう。3乗で $O$ になる冪零行列についての話題を扱っています。なお、回答中の $a+b=0$ と $a+b≠0$ はそれぞれ $a+d=0$ と $a+d≠0$ の誤りだと思われます。
＜この記事について＞：2行2列の行列の「対角化」の手順と、その応用として対角行列を利用した、行列のn乗(冪乗)の仕方を解説します。(※)この記事は、「目次(タップした所へ飛びます)対角化とは、その名の通り正方行列（：要素の数が、２×２、３×３・・・のように行と列で同じもの）を『対角行列』に変えることを言います。では対角行列とはどのようなものなのか、そしてどうやって『対角化』するのか具体的に見ていきましょう。 0000028425 00000 n リンク方法. 0000002875 00000 n 内積の定義と正値性・対称性・線形性について 0000028656 00000 n 0000017030 00000 n 0000012296 00000 n 0000014130 00000 n 虚数単位行列Imは、2乗により単位行列の負反転-Eとなります。 ・ 四元数（虚数単位：i，j，k） は、 2対の複素数を内包した、複素数 です。 そのため、四元数を表す行列は、 2×2の複素行列 となります。 0000000974 00000 n 0000002227 00000 n 0000003284 00000 n xref 実は、この『対角化』をすることで、行列のべき乗（n乗）を簡単に計算することができるのです。 行列のn乗の求め方(対角行列編) 例えば、先ほどの行列Bで考えるとB 2,B 3,B 4 …となるにつれて計算が非常に大変になります。 しかし、対角化によって、 0000003590 00000 n
対称行列と反対称行列の性質・分解公式 0000005721 00000 n 0000004179 00000 n 0000013246 00000 n 正方行列のべき乗. 行列トレースの定義・基本的な性質(線形性・循環性・固有値の和・正規直交基底による表現など)や例や公式をリスト形式でまとめました。証明も与えられているので、よろしければご覧ください。 0000002619 00000 n 0000009696 00000 n trailer サラスの公式による行列式の計算方法 まず「0.1乗」を分数に直すと「10分の1乗」ですね。 ここで分数の指数の定義ですが、分母はルート√に当たります。 たとえば、2の2分の1乗は√2 のことです。 つまり、2乗すると2になる数、ということ … 行列のn乗の計算方法ー４つのパターン 662 0 obj <> endobj

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